Cho điểm \(M\) nằm trong \(\Delta ABC.\) Chứng minh rằng: \(MB + MC < AB + AC.\) Từ đó suy ra: \(MA +

Câu hỏi số 593982:

Vận dụng

Cho điểm \(M\) nằm trong \(\Delta ABC.\) Chứng minh rằng: \(MB + MC < AB + AC.\) Từ đó suy ra: \(MA + MB + MC < AB + AC + BC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:593982

Phương pháp giải

Sử dụng định lý và hệ quả của bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức tam giác

- Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức: \(a < b \Rightarrow a + c < b + c.\)

- Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều: \(\left\{ \begin{array}{l}a < b\\c < d\end{array} \right. \Rightarrow a + c < b + d.\)

Giải chi tiết

Kẻ \(BM\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D.\)

Xét \(\Delta ABD\) có: \(BD < AB + AD \Rightarrow MB + MD < AB + AD \left( 1 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta MDC\) có: \(MC < MD + DC \left( 2 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD \Rightarrow MB + MC < AB + AC\)

Kẻ \(AM\) cắt \(BC\) tại \(E.\)

Xét \(\Delta ABE\) có: \(AE < AB + BE \Rightarrow MA + ME < AB + BE \left( 3 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta MEC\) có: \(MC < ME + EC \left( 4 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow MA + MC + ME < AB + BE + EC + ME \Rightarrow MA + MC < AB + BC\)

Xét \(\Delta BDC\) có: \(BD < DC + BC \Rightarrow MB + MD < DC + BC \left( 5 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta MAD\) có: \(MA < MD + AD \left( 6 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Từ \(\left( 5 \right),\left( 6 \right) \Rightarrow MA + MB + MD < MD + AD + DC + BC \Rightarrow MA + MB < AC + BC\)

Do đó \(2\left( {MA + MB + MC} \right) < 2\left( {AB + AC + BC} \right) \Rightarrow MA + MB + MC < AB + AC + BC\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link