Biết \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} = \sqrt a

Câu hỏi số 595224:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} = \sqrt a - \sqrt b - c\) với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c.

A. P = 18.

B. P = 46.

C. P = 24.

D. P = 12.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595224

Phương pháp giải

Nhân liên hợp. Tách thành hai tích phân.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} \\\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x - x\sqrt {x + 1} }}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}x - {x^2}\left( {x + 1} \right)}}dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x - x\sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + x}}dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x }}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{x\sqrt {x + 1} }}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right)dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)dx} \end{array}\)

Xét \({I_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{\sqrt x }}dx} \).

Đặt \(\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2}\).

Vi phân: dx = 2tdt.

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\dfrac{1}{t}.2tdt} = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {2dt} = \left. {2t} \right|_1^{\sqrt 2 } = 2\sqrt 2 - 2\).

Xét \({I_2} = \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx} = \left. {2t} \right|_{\sqrt 2 }^{\sqrt 3 } = 2\sqrt 3 - 2\sqrt 2 \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left( {2\sqrt 2 - 2} \right) - \left( {2\sqrt 3 - 2\sqrt 2 } \right) = 4\sqrt 2 - 2\sqrt 3 - 2 = \sqrt {32} - \sqrt {12} - 2\\ \Rightarrow a = 32,\,\,b = 12,\,\,c = 2\\ \Rightarrow P = a + b + c = 32 + 12 + 2 = 46.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.