Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng

Câu hỏi số 595463:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595463

Phương pháp giải

Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là \(a,b,c\) với \(a \ge b \ge c \ge 0\).

Theo định lí quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, ta có: \(a < b + c\)

Ta có: \(a \ge b \ge 0;a \ge c \ge 0\)

Giải chi tiết

Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là \(a,b,c\) với \(a \ge b \ge c \ge 0\).

Chu vi của hình tam giác là: \(a + b + c\), nửa chu vi của hình tam giác là: \(\dfrac{{a + b + c}}{2}\)

Theo định lí quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, ta có: \(a < b + c\)

Suy ra \(a + a < a + b + c\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2a < a + b + c\\ \Rightarrow a < \dfrac{{a + b + c}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có: \(a \ge b \ge 0;a \ge c \ge 0\) suy ra \(a + a \ge b + c\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a + a + a \ge a + b + c\\ \Rightarrow 3a \ge a + b + c\\ \Rightarrow a \ge \dfrac{{a + b + c}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{{a + b + c}}{3} \le a < \dfrac{{a + b + c}}{2}\) (điều phải chứng minh)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link