Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}}

Câu hỏi số 595705:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\)w có nghiệm \(x \in \left[ {1;2} \right]\) biết \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m\).

A. 24.

B. 64.

C. 15.

D. 16.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595705

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}\). Đưa về bài toán xét hàm đặc trưng.

Cô lập m, sử dụng tương giao đồ thị hàm số để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( t \right) = {x^3} - m\\f\left( x \right) = {t^3} - m\end{array} \right. \Rightarrow f\left( t \right) + {t^3} = f\left( x \right) + {x^3}\).

Xét hàm đặc trưng \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^3} = {x^5} + 4{x^3} - 4m\) có \(g'\left( x \right) = 5{x^4} + 12{x^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

=> Hàm số g(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà g(x) = g(t) => x = t hay \(f\left( x \right) + m = {x^3} \Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} = 3m\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3}\) trên [1;2] ta có \(h'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\).

=> Hàm số h(x) đồng biến trên [1;2].

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) = h\left( 1 \right) = 3,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) = h\left( 2 \right) = 48\).

=> Phương trình h(x) = 3m có nghiệm khi \(3 \le 3m \le 48 \Leftrightarrow 1 \le m \le 16\).

Vậy có 16 giá trị m nguyên thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.