Chứng minh rằng các hàm số sau có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi giá trị của m.a) \(y

Câu hỏi số 595930:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng các hàm số sau có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi giá trị của m.

a) \(y = \dfrac{{mx}}{{\left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2}}\).

b) \(y = \sqrt {\dfrac{{2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1}}{{{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2}}} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595930

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2 \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

b) Chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1}}{{{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2}} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2 \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \(\left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2 \ne 0\).

Xét \(f\left( x \right) = \left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2{m^2} + 1 > 0\,\,\forall m\\\Delta ' = 4{m^2} - 2\left( {2{m^2} + 1} \right) = - 2 < 0\,\,\forall m\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( x \right) \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số đã cho có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) với mọi m (đpcm).

b) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1}}{{{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2}} \ge 0\\{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2 \ne 0\end{array} \right.\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1\\g\left( x \right) = {m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2\end{array} \right.\).

Xét f(x):

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a_f} = 2 > 0\\{\Delta _f}' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 1} \right) = - {m^2} + 2m - 1 = - {\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) (1)

Xét g(x):

TH1: m = 0 \( \Rightarrow g\left( x \right) = 2 > 0\).

TH2: \(m \ne 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_g} = {m^2} > 0\\{\Delta _g}' = {m^2} - {m^2}\left( {{m^2} + 2} \right) = - {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right) < 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó với mọi m thì \(g\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1}}{{{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2}} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2 \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\).

Vậy hàm số đã cho có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) với mọi m (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.