Chứng minh rằng các hàm số sau có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi giá trị của m.a) \(y

Câu hỏi số 595930:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng các hàm số sau có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi giá trị của m.

a) \(y = \dfrac{{mx}}{{\left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2}}\).

b) \(y = \sqrt {\dfrac{{2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1}}{{{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2}}} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595930

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2 \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

b) Chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1}}{{{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2}} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2 \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \(\left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2 \ne 0\).

Xét \(f\left( x \right) = \left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2{m^2} + 1 > 0\,\,\forall m\\\Delta ' = 4{m^2} - 2\left( {2{m^2} + 1} \right) = - 2 < 0\,\,\forall m\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( x \right) \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số đã cho có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) với mọi m (đpcm).

b) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1}}{{{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2}} \ge 0\\{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2 \ne 0\end{array} \right.\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1\\g\left( x \right) = {m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2\end{array} \right.\).

Xét f(x):

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a_f} = 2 > 0\\{\Delta _f}' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 1} \right) = - {m^2} + 2m - 1 = - {\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) (1)

Xét g(x):

TH1: m = 0 \( \Rightarrow g\left( x \right) = 2 > 0\).

TH2: \(m \ne 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_g} = {m^2} > 0\\{\Delta _g}' = {m^2} - {m^2}\left( {{m^2} + 2} \right) = - {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right) < 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó với mọi m thì \(g\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1}}{{{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2}} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\{m^2}{x^2} - 2mx + {m^2} + 2 \ne 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\).

Vậy hàm số đã cho có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) với mọi m (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10