Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:\({b^2}{x^2} - \left( {{b^2} + {c^2} -

Câu hỏi số 595931:

Vận dụng cao

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

\({b^2}{x^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)x + {c^2} > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595931

Phương pháp giải

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\), \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

Sử dụng BĐT tam giác.

Giải chi tiết

Đặt \(f\left( x \right) = {b^2}{x^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)x + {c^2}\).

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 => b > 0 (1).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2} - 4{b^2}{c^2}\\\,\,\,\, = {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2} - {\left( {2bc} \right)^2}\\\,\,\,\, = \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc} \right)\\\,\,\,\, = \left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\\\,\,\,\, = \left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\\\,\,\,\, = - \left( {a + c - b} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)\end{array}\)

Do a, b, c > 0 nên a + b + c > 0.

Áp dụng BĐT tam giác ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + c > b\\a + b > c\\b + c > a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c - b > 0\\a + b - c > 0\\b + c - a > 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \Delta < 0\) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.