Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:\({b^2}{x^2} - \left( {{b^2} + {c^2} -

Câu hỏi số 595931:

Vận dụng cao

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

\({b^2}{x^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)x + {c^2} > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595931

Phương pháp giải

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\), \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

Sử dụng BĐT tam giác.

Giải chi tiết

Đặt \(f\left( x \right) = {b^2}{x^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)x + {c^2}\).

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 => b > 0 (1).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2} - 4{b^2}{c^2}\\\,\,\,\, = {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2} - {\left( {2bc} \right)^2}\\\,\,\,\, = \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc} \right)\\\,\,\,\, = \left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\\\,\,\,\, = \left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\\\,\,\,\, = - \left( {a + c - b} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)\end{array}\)

Do a, b, c > 0 nên a + b + c > 0.

Áp dụng BĐT tam giác ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + c > b\\a + b > c\\b + c > a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c - b > 0\\a + b - c > 0\\b + c - a > 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \Delta < 0\) (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10