Tìm \(x,y,z\) biết:a) \(\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 1}} = \dfrac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\)b)

Câu hỏi số 596423:

Vận dụng cao

Tìm \(x,y,z\) biết:

a) \(\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 1}} = \dfrac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\)

b) \(\dfrac{{y + z + 2}}{x} = \dfrac{{x + z + 5}}{y} = \dfrac{{x + y - 7}}{z} = \dfrac{6}{{x + y + z}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596423

Phương pháp giải

+ Tính chất cơ bản: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\)

+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 1}} = \dfrac{z}{{x + y - 2}} = x + y + z\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 1}} = \dfrac{z}{{x + y - 2}} = \dfrac{{x + y + z}}{{y + z + 1 + x + z + 1 + x + y - 2}} = \dfrac{{x + y + z}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \dfrac{1}{2}\)

+ \(\dfrac{z}{{x + y - 2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2z = x + y - 2 \Rightarrow 2z + 2 = x + y\)

Thay \(x + y = 2z + 2\) vào biểu thức \(x + y + z = \dfrac{1}{2}\), ta được:

\(2z + 2 + z = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 3z + 2 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 3z = \dfrac{{ - 3}}{2} \Rightarrow z = \dfrac{{ - 1}}{2}\)

\( \Rightarrow x + y - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + y = 1 \Rightarrow x = 1 - y\)

+ \(\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x = y + z + 1 \Rightarrow 2\left( {1 - y} \right) = y - \dfrac{1}{2} + 1\)

\( \Rightarrow 2 - 2y = y - \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2 + \dfrac{1}{2} = y + 2y \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow x = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x = \dfrac{1}{2};y = \dfrac{1}{2};z = \dfrac{{ - 1}}{2}\)

b) \(\dfrac{{y + z + 2}}{x} = \dfrac{{x + z + 5}}{y} = \dfrac{{x + y - 7}}{z} = \dfrac{6}{{x + y + z}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{{y + z + 2}}{x} = \dfrac{{x + z + 5}}{y} = \dfrac{{x + y - 7}}{z} = \dfrac{{y + z + 2 + x + z + 5 + x + y - 7}}{{x + y + z}} = \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{x + y + z}} = 2\)

+ \(\dfrac{{x + y - 7}}{z} = 2 \Rightarrow x + y - 7 = 2z \Rightarrow x + y = 2z + 7\)

Thay \(x + y = 2z + 7\) vào \(\dfrac{6}{{x + y + z}}\), ta được:

\(\dfrac{6}{{2z + 7 + z}} = 2 \Rightarrow \dfrac{6}{{3z + 7}} = 2 \Rightarrow 2\left( {3z + 7} \right) = 6 \Rightarrow 6z + 14 = 6 \Rightarrow z = \dfrac{{ - 4}}{3}\)

\( \Rightarrow x + y = 2.\left( {\dfrac{{ - 4}}{3}} \right) + 7 = \dfrac{{13}}{3} \Rightarrow x = \dfrac{{13}}{3} - y\)

Thay \(x = \dfrac{{13}}{3} - y;z = \dfrac{{ - 4}}{3}\) vào \(\dfrac{{x + z + 5}}{y}\), ta có

\(\dfrac{{x + z + 5}}{y} = 2 \Rightarrow x + z + 5 = 2y \Rightarrow \dfrac{{13}}{3} - y - \dfrac{4}{3} + 5 = 2y\) \( \Rightarrow 3y = 8 \Rightarrow y = \dfrac{8}{3}\)

\( \Rightarrow x = \dfrac{{13}}{3} - \dfrac{8}{3} = \dfrac{5}{3}\)

Vậy \(x = \dfrac{5}{3};y = \dfrac{8}{3};z = \dfrac{{ - 4}}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link