Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = a\ln 3 +

Câu hỏi số 596646:

Vận dụng cao

Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng:

A. -1.

B. \(\dfrac{{15}}{8}.\)

C. \(\dfrac{5}{4}.\)

D. \(\dfrac{{17}}{8}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596646

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) = u\\\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = dv\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) = u \Rightarrow \dfrac{{\cos x - 2\sin x}}{{\sin x + 2\cos x}}dx = du\\\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = dv \Rightarrow \tan x = v\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}I = \left. {\tan x.\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x - 2\sin x}}{{\sin x + 2\cos x}}.\tan xdx} \\\,\,\,\,\, = \ln \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 2 } \right) - A\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x - 2\sin x}}{{\sin x + 2\cos x}}.\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x\cos x - 2{{\sin }^2}x}}{{\sin x\cos x + 2{{\cos }^2}x}}dx} \\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x\cos x + 2{{\cos }^2}x - 2{{\cos }^2}x - 2{{\sin }^2}x}}{{\sin x\cos x + 2{{\cos }^2}x}}dx} \\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 - \dfrac{2}{{\sin x\cos x + 2{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\, = \left. x \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{2}{{\sin x\cos x + 2{{\cos }^2}x}}dx} \\\,\,\,\,\,\, = \left. x \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{2}{{\dfrac{{\sin x\cos x + 2{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{\pi }{4} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{2}{{\tan x + 2}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{\pi }{4} - \left. {2\ln \left| {\tan x + 2} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{\pi }{4} - \left( {2\ln 3 - 2\ln 2} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \ln \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 2 } \right) - \dfrac{\pi }{4} + \left( {2\ln 3 - 2\ln 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \ln \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - \dfrac{\pi }{4} + 2\ln 3 - 2\ln 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \ln 3 + \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - \dfrac{\pi }{4} + 2\ln 3 - 2\ln 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\ln 3 - \dfrac{1}{2}\ln 2 - \dfrac{\pi }{4} - 2\ln 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\ln 3 - \dfrac{5}{2}\ln 2 - \dfrac{\pi }{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = 3,\,\,b = - \dfrac{5}{2},\,\,c = - \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow abc = \dfrac{{15}}{8}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.