Tính giá trị của \(K = \int\limits_0^1 {x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)dx} \).

Câu hỏi số 596645:

Vận dụng

A. \(K = \ln 2 - \dfrac{1}{4}.\)

B. \(K = \ln 2 - \dfrac{1}{2}.\)

C. \(K = \ln 2 + \dfrac{1}{2}.\)

D. \(K = - \ln 2 + \dfrac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596645

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) = u\\xdx = dv\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) = u \Rightarrow \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx = du\\xdx = dv \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{2} = v\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}K = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\ln 2 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3} + x - x}}{{{x^2} + 1}}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\ln 2 - \int\limits_0^1 {\left( {x - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\ln 2 - \int\limits_0^1 {\left( {x - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\ln 2 - \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = \dfrac{1}{2}\ln 2 - \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln 2} \right)\\ = \ln 2 - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.