Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2x}}\sin 2xdx} \).

Câu hỏi số 596649:

Vận dụng

A. \(I = \dfrac{{{e^\pi } + 1}}{4}.\)

B. \(I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{\pi }.\)

C. \(I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{{\left( {{\pi ^2} + 4} \right)e}}.\)

D. \(I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{{{\pi ^2} + 4}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596649

Phương pháp giải

Tích phân lặp lại.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = u\\{e^{2x}}dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\cos 2xdx = du\\\dfrac{1}{2}{e^{2x}} = v\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\sin 2x - \underbrace {\int {{e^{2x}}\cos 2xdx} }_A\)

\(A = \int {{e^{2x}}\cos 2xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x = u\\{e^{2x}}dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\sin 2xdx = du\\\dfrac{1}{2}{e^{2x}} = v\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\cos 2x + \int {{e^{2x}}\sin 2xdx} = \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\cos 2x + I\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\sin 2x - \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\cos 2x - I\\ \Rightarrow I = \left. {\dfrac{{{e^{2x}}\sin 2x - {e^{2x}}\cos 2x}}{4}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ \Rightarrow I = \dfrac{1}{4}{e^\pi }\left( {\sin \pi - \cos \pi - \sin 0 + \cos 0} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {{e^\pi } + 1} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.