Từ điểm \(M\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA,MB\)
Từ điểm \(M\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) của \(\left( O \right)\), \(A,B\) là hai tiếp điểm). Một đường thẳng qua \(M\) và không đi qua \(O\) cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(C,D\) (\(C\) nằm giữa \(M,D\) và \(A\) thuộc cung nhỏ \(CD\)).
a) Chứng minh tứ giác \(AMBO\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(M{A^2} = MC.MD\)
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(MO\). Chứng minh tứ giác \(CDOI\) nội tiếp.
d) Kẻ đường thẳng qua \(D\) vuông góc với \(MO\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) khác \(D\). Chứng minh ba điểm \(C,I,E\) thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) \(\Delta MAC \sim \Delta MDA\left( {g.g} \right) \Rightarrow M{A^2} = MC.MD\)
c) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện là tứ giác nối tiếp.
d) \(\angle DIA = \angle CIA\) và \(\angle AID = \angle BIE\) suy ra \(\angle CIA = \angle BIE\)
Chứng minh: \(\angle CIE = {180^0}\) suy ra C, I, E thẳng hàng
a) Chứng minh tứ giác \(AMBO\) nội tiếp.
Ta có:
\(\angle MAO = {90^o}\) (vì \(AM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))
\(\angle MBO = {90^o}\) (vì \(BM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))
\( \Rightarrow \angle MAO + \angle MBO = {180^o}\)
Mà \(\angle MAO\) và \(\angle MBO\) là hai góc đối nhau
Do đó tứ giác \(AMBO\) nội tiếp (dhnb)
b) Chứng minh \(M{A^2} = MC.MD\)
Xét \(\Delta MAC\) và \(MDA\) ta có:
\(\angle MAC = \angle MDA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)
\(\angle AMD\) chung
Suy ra \(\Delta MAC\) đồng dạng \(MDA\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow M{A^2} = MC.MD\) (đpcm)
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(MO\). Chứng minh tứ giác \(CDOI\) nội tiếp.
Ta có:
\(OA = OB\) (=R)\( \Rightarrow O\) thuộc trung trực của AB.
\(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của AB.
\( \Rightarrow OM\) là trung trực của AB \( \Rightarrow OM \bot AB\) tại I.
Trong tam giác \(MAO\) vuông tại \(A\) đường cao AI ta có: \(M{A^2} = MI.MO\) (hệ thức lượng trong tam giác)
Mà \(M{A^2} = MC.MD\) (cmt)
Suy ra \(MI.MO = MC.MD\)\( \Rightarrow \dfrac{{MI}}{{MC}} = \dfrac{{MD}}{{MO}}\)
Xét \(\Delta MCI\) và \(\Delta MOD\) ta có:
\(\dfrac{{MI}}{{MC}} = \dfrac{{MD}}{{MO}}\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\angle DMO\) chung
\( \Rightarrow \)\(\Delta MCI\) đồng dạng \(\Delta MOD\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \angle MIC = \angle MDO\) (2 góc tương ứng)
Suy ra tứ giác \(CDOI\) nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
d) Kẻ đường thẳng qua \(D\) vuông góc với \(MO\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) khác \(D\). Chứng minh ba điểm \(C,I,E\) thẳng hàng.
Ta có: \(OM \bot AB\) tại I (cmt)
Mà \(DE \bot MO\) (theo giả thiết)
Suy ra \(AB//DE\) (từ vuông góc đến song song.
\( \Rightarrow \angle ABD = \angle BDE\) (so le trong)
\( \Rightarrow cungAD = cungBE\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).
\( \Rightarrow AD = BE\) (2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau).
Vì tứ giác \(DOIC\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle OID = \angle OCD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(OD\))
Mà tam giác \(OCD\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \angle OCD = \angle ODC\) (2 góc ở đáy).
\( \Rightarrow \angle OID = \angle ODC\)
Mà \(\angle MIC = \angle MDO = \angle ODC\) (cmt)
Do đó \(\angle OID = \angle MIC\).
Mà \(\angle OID + \angle DIA = \angle MIC + \angle CIA = {90^o}\) (do \(AI \bot MO\))
Suy ra \(\angle DIA = \angle CIA\) (*)
Ta có: \(\Delta ODE\) cân tại \(O\) (do \(OD = OE\)) \( \Rightarrow \) \(OK\) là đường cao đồng thời là trung tuyến
\( \Rightarrow \Delta IDE\) có \(IK\) là đường cao đồng thời là trung tuyến.
\( \Rightarrow \Delta IDE\) cân tại \(I \Rightarrow ID = IE\)
Xét \(\Delta AID\) và \(\Delta BIE\) ta có:
\(AI = BI\) (do \(I\) là trung điểm \(AB\))
\(ID = IE\) (cmt)
\(AD = BE\) (cmt)
Do đó \(\Delta AID\)=\(\Delta BIE\) (c.c.c)
\( \Rightarrow \angle AID = \angle BIE\) (2 góc tương ứng) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\angle CIA = \angle BIE\)
Mà \(\angle BIE + \angle AIE = {180^o}\) (kề bù)
Do đó \(\angle CIA + \angle AIE = {180^o} \Leftrightarrow \angle CIE = {180^0}\) hay 3 điểm \(C,I,E\) thẳng hàng (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
