Với các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x \ge 1,\,\,y \ge 1,\,\,z \ge 1\) và \({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}

Câu hỏi số 596984:

Vận dụng cao

Với các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x \ge 1,\,\,y \ge 1,\,\,z \ge 1\) và \({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} = 15\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y + z\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596984

Phương pháp giải

Đặt \(x = a + 1;\,\,\,y = b + 1;\,\,\,z = c + 1\). Xác định điều kiện của a, b, c.

Từ giả thiết \({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} = 15\) biến đổi.

Từ điều kiện của a, b, c đánh giá tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Đặt \(x = a + 1;\,\,\,y = b + 1;\,\,\,z = c + 1\). Vì \(x \ge 1;\,y \ge 1;\,z \ge 1\) nên \(a,\,\,b,\,\,c \ge 0\).

Khi đó ta có:

\({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} = 15\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + 2{\left( {b + 1} \right)^2} + 3{\left( {c + 1} \right)^2} = 15\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} + 2\left( {a + 2b + 3c} \right) = 9\)

Yêu cầu bài toán tìm min \(P = a + b + c + 3\)

Ta có: \(9 = \left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right) + 2\left( {a + 2b + 3c} \right)\)\( \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 6\left( {a + b + c} \right)\)\( \le 3{\left( {a + b + c} \right)^2} + 6\left( {a + b + c} \right)\)

(do \({a^2} \le 3{a^2},\,\,2{b^2} \le 3{b^2},\,\,a \le 3a,\,\,2b \le 3b\))

\( \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} + 2\left( {a + b + c} \right) - 3 \ge 0\)

\( \Rightarrow a + b + c \ge 1\)

Do đó \(P = a + b + c + 3 \ge 4\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = 0;\,\,\,c = 1\)\( \Rightarrow x = y = 1;\,\,\,z = 2\)

Vậy GTNN của \(P = 4\) khi \(x = y = 1;\,\,\,z = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link