Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}

Câu hỏi số 597015:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 4\))

a) Tính giá trị của A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho biểu thức P = A.B. Tìm tất cả các giá trị của x để \(P \le - 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597015

Phương pháp giải

a) Kiểm tra x = 9 có thỏa mãn điều kiện hay không, sau đó thay vào biểu thức A để tính.

b) Xác định mẫu thức chung, quy đồng và thực hiện các phép toán với các phân thức đại số.

c) Tính P = A.B.

Biến đổi \(P \le - 1\) \( \Leftrightarrow P + 1 \le 0\)

\(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \le 0\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,g\left( x \right) < 0\) hoặc \(f\left( x \right) \le 0,g\left( x \right) > 0\)

Giải chi tiết

a) Với \(x = 9\left( {tmdk} \right)\) thay vào A ta được: \(A = \dfrac{{\sqrt 9 + 2}}{{\sqrt 9 - 2}} = \dfrac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = \dfrac{5}{1} = 5\)

Vậy \(x = 9\) thì \(A = 5\).

b) \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x - 4}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right) - \left( {\sqrt x + 10} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{3\sqrt x - 6 - \sqrt x - 10}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\end{array}\)

Vậy \(B = \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4\).

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}P = A.B\\P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.\dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\P = \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

Để \(P \le - 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}} \le - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}} + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x - 16 + x + 4\sqrt x + 4}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 6\sqrt x - 12}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}} \le 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(x \ge 0,x \ne 4 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow {\left( {\sqrt x + 2} \right)^2} \ge 4 > 0\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x + 6\sqrt x - 12 \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 6\sqrt x + 9 - 21 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 3} \right)^2} - 21 \le 0\\ \Leftrightarrow - \sqrt {21} \le \sqrt x + 3 \le \sqrt {21} \\ \Leftrightarrow - \sqrt {21} - 3 \le \sqrt x \le \sqrt {21} - 3\\ \Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt {21} - 3\\ \Leftrightarrow x \le {\left( {\sqrt {21} - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x \le 30 - 6\sqrt {21} \end{array}\)

Kết hợp điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4\) ta có \(0 \le x \le 30 - 6\sqrt {21} \).

Vậy \(0 \le x \le 30 - 6\sqrt {21} \).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link