Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}

Câu hỏi số 597015:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 4\))

a) Tính giá trị của A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho biểu thức P = A.B. Tìm tất cả các giá trị của x để \(P \le - 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597015

Phương pháp giải

a) Kiểm tra x = 9 có thỏa mãn điều kiện hay không, sau đó thay vào biểu thức A để tính.

b) Xác định mẫu thức chung, quy đồng và thực hiện các phép toán với các phân thức đại số.

c) Tính P = A.B.

Biến đổi \(P \le - 1\) \( \Leftrightarrow P + 1 \le 0\)

\(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \le 0\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,g\left( x \right) < 0\) hoặc \(f\left( x \right) \le 0,g\left( x \right) > 0\)

Giải chi tiết

a) Với \(x = 9\left( {tmdk} \right)\) thay vào A ta được: \(A = \dfrac{{\sqrt 9 + 2}}{{\sqrt 9 - 2}} = \dfrac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = \dfrac{5}{1} = 5\)

Vậy \(x = 9\) thì \(A = 5\).

b) \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x - 4}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right) - \left( {\sqrt x + 10} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{3\sqrt x - 6 - \sqrt x - 10}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\end{array}\)

Vậy \(B = \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4\).

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}P = A.B\\P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.\dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\P = \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

Để \(P \le - 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}} \le - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x - 16}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}} + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x - 16 + x + 4\sqrt x + 4}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 6\sqrt x - 12}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}} \le 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(x \ge 0,x \ne 4 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow {\left( {\sqrt x + 2} \right)^2} \ge 4 > 0\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x + 6\sqrt x - 12 \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 6\sqrt x + 9 - 21 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 3} \right)^2} - 21 \le 0\\ \Leftrightarrow - \sqrt {21} \le \sqrt x + 3 \le \sqrt {21} \\ \Leftrightarrow - \sqrt {21} - 3 \le \sqrt x \le \sqrt {21} - 3\\ \Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt {21} - 3\\ \Leftrightarrow x \le {\left( {\sqrt {21} - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x \le 30 - 6\sqrt {21} \end{array}\)

Kết hợp điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4\) ta có \(0 \le x \le 30 - 6\sqrt {21} \).

Vậy \(0 \le x \le 30 - 6\sqrt {21} \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link