Cho tam giác \(ABC\,\,\,\left( {BC < AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn
Cho tam giác \(ABC\,\,\,\left( {BC < AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ \(AK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right),\) \(BI \bot AC\,\,\left( {I \in AC} \right)\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AIH\) cắt đường thẳng \(KI\) tại điểm \(M\left( {M \ne I} \right)\). Gọi \(N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM\) và \(BC\).
a) Chứng minh bốn điểm \(C,I,M,N\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(P\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(HN\). Chứng minh \(\dfrac{{PA}}{{PH}} = \dfrac{{KN}}{{KH}}\).
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp suy ra \(C,I,M,N\) cùng thuộc 1 đường tròn.
b) \(\Delta KNA \sim \Delta KHC\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{KN}}{{KH}} = \dfrac{{AN}}{{HC}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\Delta PNA \sim \Delta PCH\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{PH}} = \dfrac{{AN}}{{HC}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{{PA}}{{PH}} = \dfrac{{KN}}{{KH}}\) (đpcm)
a) Chứng minh bốn điểm \(C,I,M,N\) cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: 4 điểm \(A,H,M,I\) cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AIH\)
\( \Rightarrow \angle HAM = \angle HIM\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HM\))
Ta có: \(\angle CIM + \angle MIB = {90^o}\) (do \(BI \bot AC\))
Tam giác \(AKN\) vuông tại \(K\) ta có: \(\angle KAN + \angle ANK = {90^o}\)
Do đó \(\angle ANK = \angle CIM\)
Suy ra tứ giác \(CIMN\) nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
Suy ra \(C,I,M,N\) cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Gọi \(P\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(HN\). Chứng minh \(\dfrac{{PA}}{{PH}} = \dfrac{{KN}}{{KH}}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot AC \Rightarrow \angle HIC = {90^0}\\HK \bot BC \Rightarrow HKC = {90^0}\end{array} \right.\)
Xét tứ giác \(HKCI\) có: \(\angle HIC + \angle HKC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc đối nhau
\( \Rightarrow HKCI\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle KCH = \angle KIH\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HK)
Lại có AHMI nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle HAM = \angle HIM\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HM)
Suy ra \(\angle HAM = \angle HCN\,\,\,hay\,\,\,\angle KAN = \angle HCK\)
Xét \(\Delta KNA\) và \(\Delta KHC\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle AKC\,\,\,chung\\\angle KAN = \angle HCK\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta KNA \sim \Delta KHC\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{KN}}{{KH}} = \dfrac{{AN}}{{HC}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tứ giác AHNC có: \(\angle HAN = \angle HCN\left( { = \angle HIK} \right)\) mà hai góc có đỉnh A, C kề nhau cùng nhìn cạnh HN
\( \Rightarrow AHNC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle CAN = \angle CHN\) (góc nội tiếp cùng chán cung CN)
\( \Rightarrow \angle PAN = \angle CHP\)
Xét \(\Delta PNA\) và \(\Delta PCH\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle APH\,\,chung\\\angle PAN = \angle CHP\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta PNA \sim \Delta PCH\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{PH}} = \dfrac{{AN}}{{HC}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{{PA}}{{PH}} = \dfrac{{KN}}{{KH}}\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
