Cho \(a,b,c,d > 0\) thỏa mãn \(\left[ {ab\left( {ab - 2cd} \right) + {c^2}{d^2}} \right]\left[ {ab\left( {ab - 2}

Câu hỏi số 597200:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c,d > 0\) thỏa mãn \(\left[ {ab\left( {ab - 2cd} \right) + {c^2}{d^2}} \right]\left[ {ab\left( {ab - 2} \right) + 2\left( {ab + 1} \right)} \right] = 0\). Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597200

Phương pháp giải

+ \(A.B = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
+ Tính chất cơ bản: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\)

+ \({x^2} \ge 0\;\;\forall x\)

Giải chi tiết

+ TH1: \(ab\left( {ab - 2cd} \right) + {c^2}{d^2} = 0\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,{a^2}{b^2} - 2abcd + {c^2}{d^2} = 0\\\;\;\;\;\;\;{a^2}{b^2} - abcd - abcd + {c^2}{d^2} = 0\\\left( {{a^2}{b^2} - abcd} \right) - \left( {abcd - {c^2}{d^2}} \right) = 0\\\;\;\;\;\;\;\,\,b\left( {ab - cd} \right) - cd\left( {ab - cd} \right) = 0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\left( {ab - cd} \right)\left( {ab - cd} \right) = 0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,{\left( {ab - cd} \right)^2} = 0\\ \Rightarrow ab - cd = 0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;ab = cd\\ \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{d}{b}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

+ TH2: \(ab\left( {ab - 2} \right) + 2\left( {ab + 1} \right) = 0\)\( \Rightarrow {a^2}{b^2} - 2ab + 2ab + 2 = 0\)

\( \Rightarrow {a^2}{b^2} + 2 = 0\) (vô lí)

Vì \(\left. \begin{array}{l}{a^2} \ge 0\;\;\\{b^2} \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow {a^2}{b^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2}{b^2} + 2 \ge 2 > 0\)

Vậy nếu \(\left[ {ab\left( {ab - 2cd} \right) + {c^2}{d^2}} \right]\left[ {ab\left( {ab - 2} \right) + 2\left( {ab + 1} \right)} \right] = 0\) thì \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{d}{b}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link