Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc với Oxyz cho đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng : x - y - 1 = 0 và mặt phẳng : y - z + 6 = 0. Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với mặt phẳng Oyz góc 45°.

Câu hỏi số 5975:

Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc với Oxyz cho đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ : x - y - 1 = 0 và mặt phẳng $(\beta )$ : y - z + 6 = 0. Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với mặt phẳng Oyz góc 45°.

A. (P₁): x - y - 3 = 0; (P₂): x- z + 5 = 0.

B. (P₁): x - y - 1 = 0; (P₂): x- z + 5 = 0.

C. (P₁): x - y - 1 = 0; (P₂): x- z + 9 = 0.

D. (P₁): x + y - 1 = 0; (P₂): x- z + 5 = 0.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5975

Giải chi tiết

Vì d là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ : x - y - 1 = 0 và mặt phẳng $(\beta )$ : y - z + 6 = 0.

nên d: $\left\{\begin{matrix} x-y-1=0\\y-z+6=0 \end{matrix}\right.$

Cho y - o ta tìm được x = 1 và z = 6 => A(1; 0; 6).

Chọn một véctơ chỉ phương cho d là tích có hướng của 2 véctơ pháp tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$

$\overrightarrow{n_{\alpha }}$ = (1; -1; 0); $\overrightarrow{n_{\beta }}$ = (0; 1; -1).

Chọn véctơ chỉ phương cho d:

=> $\overrightarrow{u_{d}}$ = [ $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ ; $\overrightarrow{n_{\beta }}$ ] = (1; 1; 1).

Gọi $\overrightarrow{n_{P}}$ = (p; q; r). Ta có: $\overrightarrow{n_{P}}$ . $\overrightarrow{u_{d}}$ = 0 ⇔ p + q + r = 0

=> r = -(p + q). Mà (P) đi qua A(1; 0; 6) nên phương trình của (P):

p(x - 1) + qy - (p + q)(z - 6) = 0

hay (P): px + py - (p + q)z + 5p + 6q = 0

Mặt phẳng (Oyz) có một VTPT là $\overrightarrow{n_{1}}$ = (1; 0; 0).

Gọi $\varphi$ là góc giữa (P) và (Oyz)

=> cos $\varphi$ = $\frac{\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{1}} \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |\left | \overrightarrow{n_{1}} \right |}$ = $\frac{\left | p \right |}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}$ = $\frac{\left | p \right |}{\sqrt{2p^{2}+2q^{2}+2qp^{2}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Do $\varphi$ nên p không thể bằng o. Chọ p = 1 => $\begin{bmatrix} q=-1\\q=0 \end{bmatrix}$

Vậy hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:

p = 1; q = -1; r = 0 => (P₁): x - y - 1 = 0

p = 1; q = 0; r = -1 => (P₂): x- z + 5 = 0.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.