Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \bar z} \right|\) và \(\left| {\left(

Câu hỏi số 597791:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \bar z} \right|\) và \(\left| {\left( {z - 2} \right)\left( {\bar z - 2i} \right)} \right| = {\left| {z + 2i} \right|^2}\)?

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597791

Phương pháp giải

Đưa phương trình \(\left| {\left( {z - 2} \right)\left( {\bar z - 2i} \right)} \right| = {\left| {z + 2i} \right|^2}\) về dạng tích.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {\left( {z - 2} \right)\left( {\bar z - 2i} \right)} \right| = {\left| {z + 2i} \right|^2}\\ \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right|\left| {\bar z - 2i} \right| = \left| {z + 2i} \right|\left| {\bar z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\bar z - 2i} \right| \cdot \left( {\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right|} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\bar z - 2i = 0\\\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Trường hợp 1: \(\left| {\bar z - 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \bar z = 2i \Leftrightarrow z = - 2i\)

Trường hợp 2: \(\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right| = \left| {z + 2i} \right| = 0\)

Đặt \(z = x + y \cdot i\) ta có \(z - 2 = x - 2 + y \cdot i\) và \(z + 2i = x + \left( {y + 2} \right) \cdot i\).

Khi đó

\(\left| {z - 2} \right| = \left| {z + 2i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\)

\( \Leftrightarrow - 4x = 4y \Leftrightarrow x = - y\)

Lại có

\(\begin{array}{l}\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \bar z} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2\left| y \right|\\ \Leftrightarrow 2{y^2} = 2\left| y \right| \Leftrightarrow 2\left| y \right| \cdot \left( {\left| y \right| - 1} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow y = 0\) hoặc \(y = \pm 1\).

Do đó ta có các số \(z \in \left\{ {0;1 - i; - 1 + i; - 2i} \right\}\) thỏa mãn.

Vậy có \(4\) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.