Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f\left(

Câu hỏi số 598208:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} = \int\limits_1^8 {\dfrac{{f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}}{x}dx} = 6\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\dfrac{{f\left( {{x^2}} \right)}}{x}dx} \).

A. 4.

B. 6.

C. 7.

D. 10.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598208

Phương pháp giải

+) Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} \). Đổi biến \({\cos ^2}x = t\).

+) Xét \(\int\limits_1^8 {\dfrac{{f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}}{x}dx} \). Đổi biến \(\sqrt[3]{x} = t\).

+) Xét \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\dfrac{{f\left( {{x^2}} \right)}}{x}dx} \). Đổi biến \({x^2} = t\).

Giải chi tiết

+) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx} \).

Đặt \({\cos ^2}x = t \Rightarrow - 2\cos x\sin xdx = dt \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\sin x}}{{\cos x}}dx = \dfrac{{dt}}{t}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\).

Thay: \(\int\limits_1^{\frac{1}{4}} {f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{{ - 2t}}} = \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\dfrac{1}{2}\dfrac{{f\left( x \right)dx}}{x}} = 6 \Leftrightarrow \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 12\).

\( + )\,\,\int\limits_1^8 {\dfrac{{f\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}}{x}dx} \)

Đặt \(\sqrt[3]{x} = t \Leftrightarrow x = {t^3} \Leftrightarrow dx = 3{t^2}dt \Leftrightarrow \dfrac{{dx}}{x} = \dfrac{3}{t}dt.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 8 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

Thay: \(\int\limits_1^2 {f\left( t \right).\dfrac{3}{t}dt} = \int\limits_1^2 {3\dfrac{{f\left( x \right)dx}}{x}} = 6 \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 2\).

+) \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\dfrac{{f\left( {{x^2}} \right)}}{x}dx} \)

Đặt \({x^2} = t \Leftrightarrow 2xdx = dt \Leftrightarrow \dfrac{{2dx}}{x} = \dfrac{{dt}}{t}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{1}{4}\\x = \sqrt 2 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

Thay: \(\int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\dfrac{{f\left( t \right)dt}}{{2t}}} = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\dfrac{{f\left( x \right)dx}}{{2x}}} = \dfrac{{12 + 2}}{2} = 7.\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.