Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết f(3) = 1 và \(\int\limits_0^1 {xf\left(

Câu hỏi số 598212:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết f(3) = 1 và \(\int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right)dx} = 1\), khi đó \(\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{{25}}{3}\).

B. 3.

C. 7.

D. -9.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598212

Phương pháp giải

Xét \(I = \int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \), sử dụng tích phân từng phần \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = u\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right.\).

Xét \(\int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right)dx} \), đổi biến 3x = t.

Giải chi tiết

+) Xét \(I = \int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = u \Rightarrow 2xdx = du\\f'\left( x \right)dx = dv \Rightarrow f\left( x \right) = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {2xf\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = 9f\left( 3 \right) - \int\limits_0^3 {2xf\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = 9 - \int\limits_0^3 {2xf\left( x \right)dx} \end{array}\)

+) \(\int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right)dx} \).

Đặt \(3x = t \Rightarrow 3dx = dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{3}.\dfrac{t}{3}} = \dfrac{1}{9}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)xdx} = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right).xdx} = 9\).

Vậy \(I = 9 - 2.9 = - 9.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.