Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f\left( {{x^2}} \right) +

Câu hỏi số 598223:

Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f\left( {{x^2}} \right) + 2\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) = 4{x^4} + 8{x^2} + 2x + 4\). Tính tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(\dfrac{{32}}{3}.\)

B. \(\dfrac{{13}}{3}.\)

C. \(\dfrac{{23}}{3}.\)

D. \(\dfrac{2}{3}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598223

Phương pháp giải

Nhân hai vế \(f\left( {{x^2}} \right) + 2\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) = 4{x^4} + 8{x^2} + 2x + 4\) với 2x.

Tích phân hai vế \(2xf\left( {{x^2}} \right) + \left( {4{x^3} + 4x} \right)f\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) = 8{x^5} + 16{x^3} + 4{x^2} + 8x\) từ 0 đến 1.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f\left( {{x^2}} \right) + 2\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) = 4{x^4} + 8{x^2} + 2x + 4\\ \Leftrightarrow 2xf\left( {{x^2}} \right) + \left( {4{x^3} + 4x} \right)f\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) = 8{x^5} + 16{x^3} + 4{x^2} + 8x\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + 4x} \right)f\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {8{x^5} + 16{x^3} + 4{x^2} + 8x} \right)dx} \end{array}\)

+) Đặt \(A = \int\limits_0^4 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx} \).

Đặt \({x^2} = t \Leftrightarrow 2xdx = dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Thay: \(A = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

+) Đặt \(B = \int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + 4x} \right)f\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)dx} \)

Đặt \({x^4} + 2{x^2} + 1 = t \Rightarrow \left( {4{x^3} + 4x} \right)dx = dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\).

Thay: \(B = \int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{32}}{3} \Leftrightarrow \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{32}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.