Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}}

Câu hỏi số 598222:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \( - \dfrac{{17}}{{20}}.\)

B. \( - \dfrac{{13}}{4}.\)

C. \(\dfrac{{17}}{4}.\)

D. \( - 1.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598222

Phương pháp giải

Nhân hai vế \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x\) với x.

Tích phân hai vế \({x^2}f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}\) từ -1 đến 0 và từ 0 đến 1.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{10}} + {x^6} - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}} \right)dx} \end{array}\)

+) Đặt \(A = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} \).

Đặt \({x^3} = t \Leftrightarrow 3{x^2}dx = dt \Leftrightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = - 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

Thay: \(A = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{3}} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \).

+) Đặt \(B = \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} \)

Đặt \(1 - {x^2} = t \Leftrightarrow - 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = - \dfrac{{dt}}{2}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 0\\x = 0 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Thay: \(B = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)\dfrac{{ - dt}}{2}} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{ - 17}}{{24}}\).

----------------------------

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^2}f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {1 - {x^2}} \right) = - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^{11}} + {x^7} - 2{x^2}} \right)dx} \end{array}\)

+) Đặt \(C = \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} \).

Đặt \({x^3} = t \Leftrightarrow 3{x^2}dx = dt \Leftrightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Thay: \(C = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{3}} = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

+) Đặt \(D = \int\limits_0^1 {xf\left( {1 - {x^2}} \right)dx} \)

Đặt \(1 - {x^2} = t \Leftrightarrow - 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = - \dfrac{{dt}}{2}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

Thay: \(B = \int\limits_1^0 {f\left( t \right)\dfrac{{ - dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{ - 5}}{8}\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{6}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{ - 5}}{8} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{3}{4}.\end{array}\).

Vậy \( \Rightarrow \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - 3}}{4} = \dfrac{{ - 17}}{{24}} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{{13}}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.