Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x +

Câu hỏi số 598332:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x(x - 3) + y(y - 3) + xy\)?

A. \(3\).

B. \(2\).

C. \(4\).

D. \(8\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598332

Phương pháp giải

Sử dụng hàm đặc trưng

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x(x - 3) + y(y - 3) + xy\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = {x^2} + {y^2} + xy - 3x - 3y\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 2 + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {3\left( {x + y} \right)} \right) + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x + x,\,\,x > 0\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln \sqrt 3 }} + 1 > 0,\,\,\forall x > 0\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2\\ \Leftrightarrow xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 2\end{array}\)

Ta có: \(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}{\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3} \le x + y \le \dfrac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Mà \(x,\,\,y \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow \left( {x + y} \right) \in \left\{ {2;3} \right\}\)

Với \(x + y = 2 \Rightarrow x = 1,\,\,y = 1\)

Với \(x + y = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,\,\,y = 2\\x = 2,\,\,y = 1\end{array} \right.\)

Thử lại ta thấy \(x = 1;\,\,y = 1\) không thỏa mãn.

Vậy có 2 cặp số thỏa mãn.

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.