Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1;4;2), bán kính bằng 2. Gọi M, N là hai điểm lần
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1;4;2), bán kính bằng 2. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng \(\dfrac{7}{2}\). Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.
Gọi \(M\left( {a;0;0} \right) \in Ox,\,\,N\left( {0;b;0} \right) \in Oy\).
Ta có \(d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = 2 = R\) nên (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(1;4;0) và MN cũng đi qua A.
Lại có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1; - 4;0} \right),\,\,\overrightarrow {AN} = \left( { - 1;b - 4;0} \right)\) và 3 điểm A, M, N thẳng hàng nên ta được:
\(\dfrac{{a - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 4}}{{b - 4}} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 4} \right) = 4\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Tứ diện OIMN có \(IA \bot \left( {OMN} \right)\) và \(\Delta OMN\) vuông tại O nên nếu gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN thì \(J \in \left( {IMN} \right)\).
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IMN\).
Ta có \({S_{\Delta IMN}} = \dfrac{{IM.IN.MN}}{{4r}}\) (với \(r = \dfrac{7}{2}\) bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IMN\)).
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}IA.MN = \dfrac{{IM.IN.MN}}{{4.\dfrac{7}{2}}} \Leftrightarrow IM.IN = 7IA \Leftrightarrow IM.IN = 14\)
\( \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 20} \right]\left[ {{{\left( {b - 4} \right)}^2} + 5} \right] = 196\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}m = a - 1\\n = b - 4\end{array} \right.\).
Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}mn = 4\\\left( {{m^2} + 20} \right)\left( {{n^2} + 5} \right) = 196\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = \dfrac{4}{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\left( {{m^2} + 20} \right)\left( {\dfrac{{16}}{{{m^2}}} + 5} \right) = 196\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\).
Từ (4) ta được: \(\left( {{m^2} + 20} \right)\left( {16 + 5{m^2}} \right) = 196{m^2}\)
\( \Leftrightarrow 5{m^4} - 80{m^2} + 320 = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 8 \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}m = 2\sqrt 2 \\m = - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = \sqrt 2 \\n = - \sqrt 2 \end{array} \right.\).
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}a = 1 + 2\sqrt 2 ,\,\,b = 4 + \sqrt 2 \\a = 1 - 2\sqrt 2 ,\,\,b = 4 - \sqrt 2 \end{array} \right.\).
Vậy \(AM.AN = 6\sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
