Cho hàm số \(y = f\left( {2 - x} \right)\) có bảng biến thiên như sau: Tổng các giá trị nguyên của

Câu hỏi số 599537:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( {2 - x} \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của m để phương trình \(3{f^2}\left( {{x^2} - 4x} \right) - \left( {m + 2} \right)f\left( {{x^2} - 4x} \right) + m - 1 = 0\) có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

A. 7.

B. -6.

C. 3.

D. -13.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599537

Phương pháp giải

Đặt \({x^2} - 4x = 2 - t\), lập BBT của t theo x.

Đặt \(u = f\left( {2 - t} \right)\), đưa về phương trình bậc hai ẩn u, giải phương trình tìm u theo m và biện luận.

Giải chi tiết

Đặt \({x^2} - 4x = 2 - t \Leftrightarrow t = - {x^2} + 4x + 2\), phương trình trở thành: \(3{f^2}\left( {2 - t} \right) - \left( {m + 2} \right)f\left( {2 - t} \right) + m - 1 = 0\).

Xét hàm số \(t = - {x^2} + 4x + 2\) với x > 0 ta có \(t' = - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)

BBT:

Đặt \(u = f\left( {2 - t} \right)\), phương trình trở thành: \(3{u^2} - \left( {m + 2} \right)u + m - 1 = 0\) (*)

Phương trình (*) có

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.3\left( {m - 1} \right)\\\,\,\,\,\, = {m^2} + 4m + 4 - 12m + 12\\\,\,\,\,\, = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2}\end{array}\)

+ Nếu m = 4 => (*) có nghiệm duy nhất u = 1 \( \Rightarrow f\left( {2 - t} \right) = 1\) (1).

Dựa vào BBT đã cho ta thấy phương trình \(f\left( {2 - t} \right) = 1\) có 4 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} < 2\\{t_2} \in \left( {2;4} \right)\\{t_3} \in \left( {4;6} \right)\\{t_4} > 6\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Phương trình \({t_1} = - {x^2} + 4x + 2\) có 1 nghiệm x > 0.

Phương trình \({t_2} = - {x^2} + 4x + 2\) có 2 nghiệm x > 0.

Phương trình \({t_3} = - {x^2} + 4x + 2\) có 2 nghiệm x > 0.

Phương trình \({t_4} = - {x^2} + 4x + 2\) có 0 nghiệm x > 0.

=> Phương trình (1) cho 5 nghiệm x > 0 => Loại.

+ Nếu \(m \ne 4 \Rightarrow \Delta > 0\).

=> Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{{m + 2 - m + 4}}{{2.3}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u_2} = \dfrac{{m + 2 + m - 4}}{{2.3}} = \dfrac{{m - 1}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\).

Theo chứng minh trên, phương trình (1) cho 5 nghiệm x > 0.

Để phương trình ban đầu có đúng 8 nghiệm x > 0 thì phương trình (**) có 3 nghiệm x > 0.

Với \({u_1} = \dfrac{{m - 1}}{3} \Rightarrow f\left( {2 - t} \right) = \dfrac{{m - 1}}{3}\).

- Nếu \(\dfrac{{m - 1}}{3} < - 3 \Leftrightarrow m < - 8\)

=> Phương trình \(f\left( {2 - t} \right) = \dfrac{{m - 1}}{3}\) vô nghiệm => Vô nghiệm x => Loại.

- Nếu \(\dfrac{{m - 1}}{3} = - 3 \Leftrightarrow m = - 8\)

=> Phương trình \(f\left( {2 - t} \right) = \dfrac{{m - 1}}{3}\) có 1 nghiệm t = 2 => Có 1 nghiệm x > 0 => Loại.

- Nếu \( - 3 < \dfrac{{m - 1}}{3} < - 2 \Leftrightarrow - 8 < m < - 5\)

=> Phương trình \(f\left( {2 - t} \right) = \dfrac{{m - 1}}{3}\) có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} < - 2\\{t_2} \in \left( {2;4} \right)\end{array} \right.\) => Có 1 + 2 = 3 nghiệm x > 0 => Thỏa mãn.

- Nếu \(\dfrac{{m - 1}}{3} = - 2 \Leftrightarrow m = - 5\)

=> Phương trình \(f\left( {2 - t} \right) = \dfrac{{m - 1}}{3}\) có 3 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} < - 2\\{t_2} \in \left( {2;4} \right)\\{t_3} = 6\end{array} \right.\) => Có 1 + 2 + 1 = 4 nghiệm x > 0 => Loại.

- Nếu \( - 2 < \dfrac{{m - 1}}{3} < 2 \Leftrightarrow - 5 < m < 7\)

=> Phương trình \(f\left( {2 - t} \right) = \dfrac{{m - 1}}{3}\) có 4 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} < - 2\\{t_2} \in \left( {2;4} \right)\\{t_3} \in \left( {4;6} \right)\\{t_4} > 6\end{array} \right.\) => Có 1 + 2 + 2 = 5 nghiệm x > 0 => Loại.

- Nếu \(2 < \dfrac{{m - 1}}{3} \Leftrightarrow m > 7\)

=> Phương trình \(f\left( {2 - t} \right) = \dfrac{{m - 1}}{3}\) có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} < - 2\\{t_2} > 6\end{array} \right.\) => Có 1 + 0 = 1 nghiệm x > 0 => Loại.

Do đó ta tìm được \( - 8 < m < - 5\), mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 7; - 6} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bằng -13.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.