Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), thiết diện qua trục hình trụ là hình

Câu hỏi số 599538:

Vận dụng

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O’). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Bán kính đáy của hình trụ bằng

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{4}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599538

Phương pháp giải

Gọi bán kính đáy hình trụ là R. Chứng minh OO’ = 2R.

Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên mặt đáy còn lại của hình trụ, chứng minh \(d\left( {OO',AB} \right) = d\left( {H,\left( {AB'BA'} \right)} \right)\), với H là trung điểm của AB’.

Sử dụng định lí Pytago tính AB’ theo R.

Tiếp tục sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABB’, giải phương trình tìm R theo a.

Giải chi tiết

Gọi bán kính đáy hình trụ là R.

Vì thiết diện qua trục là hình vuông nên OO’ = 2R.

Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên mặt đáy còn lại của hình trụ, ta có AB’BA’ là hình chữ nhật và OO’ // (AB’BA’).

\( \Rightarrow d\left( {OO',AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AB'BA'} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {AB'BA'} \right)} \right)\).

Gọi H là trung điểm của AB’ ta có \(OH \bot \left( {AB'BA'} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {AB'BA'} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông OHB’ có: \(B'H = \sqrt {OB{'^2} - O{H^2}} = \sqrt {{R^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} \) \( \Rightarrow AB' = 2B'H = \sqrt {4{R^2} - 3{a^2}} \).

Xét tam giác vuông ABB’ có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = AB{'^2} + BB{'^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {2a} \right)^2} = 4{R^2} - 3{a^2} + {\left( {2R} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 7{a^2} = 8{R^2}\\ \Leftrightarrow R = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{4}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.