Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {{x^2}

Câu hỏi số 601515:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {{x^2} + \left( {1 - 3m} \right)x + 2{m^2} - 2m} \right],\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + m} \right)\) có tối thiểu 3 cực trị.

A. 8.

B. 10.

C. 9.

D. 11.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:601515

Phương pháp giải

+) Cho \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(p > 0\):

Tịnh tiến \(\left( C \right)\) lên trên p đơn vị thì được đồ thị \(y = f\left( x \right) + p\).

Tịnh tiến \(\left( C \right)\) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị \(y = f\left( x \right) - p\).

+) Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C₁ ): y = f(|x|) là gồm phần :

- Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung;

- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} + \left( {1 - 3m} \right)x + 2{m^2} - 2m = 0\) có \(\Delta = {\left( {1 - 3m} \right)^2} - 8{m^2} + 8m = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m - 1 + m + 1}}{2} = 2m\\x = \dfrac{{3m - 1 - m - 1}}{2} = m - 1\end{array} \right.\).

Do đó: \({x^2} + \left( {1 - 3m} \right)x + 2{m^2} - 2m = \left( {x - 2m} \right)\left( {x - m + 1} \right)\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {{x^2} + \left( {1 - 3m} \right)x + 2{m^2} - 2m} \right] = {\left( {x - 1} \right)^3}\left( {x - 2m} \right)\left( {x - m + 1} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Nhận xét:

+) Số cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + m} \right)\) bằng số cực trị của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) (do đồ thị hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) được dựng bằng cách lấy đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + m} \right)\) tịnh tiến sang trái/phải \(\left| m \right|\) đơn vị).

+) Để hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có tối thiểu 3 cực trị thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tối thiểu 1 cực trị dương.

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 0\) có tối thiểu 1 nghiệm dương bội lẻ.

Với \(2m = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\) thì \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^4}\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)\) không có nghiệm dương bội lẻ \( \Rightarrow \) Loại.
Với \(m - 1 = 1 \Leftrightarrow m = 2\) thì \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^4}\left( {x - 4} \right)\) có duy nhất một nghiệm dương bội lẻ là \(x = 4 \Rightarrow \) Thỏa mãn.
Với \(m \notin \left\{ {\dfrac{1}{2};2} \right\}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm dương bội 3 là \(x = 1 \Rightarrow \) Thỏa mãn.

Vậy tất cả các giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) đều thỏa mãn. (11 giá trị).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.