Cho hàm số f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\), f(0) = 1 và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} .f'\left(

Câu hỏi số 602379:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\), f(0) = 1 và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} .f'\left( x \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 4 < f(3) < 6.

B. f(3) < 2.

C. 2 < f(3) < 4.

D. f(3) > 6.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602379

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} .f'\left( x \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\)

Nguyên hàm: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx} \).

*) \(VT = \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} \)

Đặt \(f\left( x \right) = t \Rightarrow f'\left( x \right)dx = dt\)

\( \Rightarrow VT = \int {\dfrac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln f\left( x \right) + C\).

*) \(VP = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx} \).

Đặt \(\sqrt {x + 1} = t \Rightarrow x + 1 = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\).

\( \Rightarrow VP = \int {\dfrac{1}{t}2tdt} = \int {2dt} = 2t + C = 2\sqrt {x + 1} + C\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \ln f\left( x \right) = 2\sqrt {x + 1} + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1} + C}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}*)\,\,f\left( 0 \right) = {e^{2 + C}} = 1 \Leftrightarrow 2 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 2.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1} - 2}}\\ \Rightarrow f\left( 3 \right) = {e^{2.\sqrt 4 - 2}} = {e^2} \approx 7,389\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.