Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right).f'\left( x

Câu hỏi số 602382:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = 2x\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} \) và f(0) = 0. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [1;3]. Biết rằng giá trị của biểu thức P = 2M – m có dạng \(a\sqrt {11} - b\sqrt 3 + c\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính S = a + b + c.

A. S = 6.

B. S = 4.

C. S = 7.

D. S = 5.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602382

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f\left( x \right).f'\left( x \right) = 2x\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} \\ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }}dx} = \int {2xdx} \end{array}\).

Xét \(\int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }}dx} \)

Đặt \(\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} = t \Rightarrow {f^2}\left( x \right) + 1 = {t^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt\\ \Rightarrow f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = tdt\end{array}\)

*) Thay \(\int {\dfrac{t}{t}dt} = \int {1dt} = t + C\).

\( \Rightarrow VT = \sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} + C\).

\(\begin{array}{l}*)\,\,VP = \int {2xdx} = {x^2} + C\\ \Rightarrow VT = VP \Leftrightarrow \sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} = {x^2} + C\end{array}\)

*) Thay x = 0 \( \Rightarrow \sqrt {{f^2}\left( 0 \right) + 1} = C \Rightarrow C = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {f^2}\left( x \right) + 1 = {x^2} + 1\\ \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{x^4} + 2{x^2}} \end{array}\)

Xét \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^4} + 2{x^2}} \) trên [1;3] ta có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{4{x^3} + 4x}}{{2\sqrt {{x^4} + 2{x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (loại).

\(f\left( 1 \right) = \sqrt 3 ,\,\,f\left( 3 \right) = 3\sqrt {11} \).

\( \Rightarrow M = 3\sqrt {11} ,\,\,m = \sqrt 3 \Rightarrow P = 2M - m = 6\sqrt {11} - \sqrt 3 \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = 6,\,\,b = 1,\,\,c = 0\\ \Rightarrow S = a + b + c = 7.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.