Phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) và \(2\sin x + 1 = 0\) có bao nhiêu nghiệm chung trên \(\left( { -

Câu hỏi số 603499:

Vận dụng

Phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) và \(2\sin x + 1 = 0\) có bao nhiêu nghiệm chung trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\).

A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:603499

Phương pháp giải

Tìm số nghiệm trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) của từng phương trình.

Giải chi tiết

+) \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow 4.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} - 3 = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + 2\cos 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} + + )\,\, - \dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{{3\pi }}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\pi }{6} + k\pi < \dfrac{{3\pi }}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{6} + k < \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{2}{3} < k < \dfrac{4}{3}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{6}\\k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} + + )\,\, - \dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{{3\pi }}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} < - \dfrac{\pi }{6} + k\pi < \dfrac{{3\pi }}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < - \dfrac{1}{6} + k < \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} < k < \dfrac{5}{3}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{6}\\k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{5\pi }}{6}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \)Phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) có các nghiệm thỏa mãn là: \(\left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{7\pi }}{6}; - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right\}\)

+) \(2\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l} + + )\,\, - \dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{{3\pi }}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} < - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < - \dfrac{1}{6} + 2k < \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} < 2k < \dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{5}{6}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{6}\).

\(\begin{array}{l} + + )\,\, - \dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{{3\pi }}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < \dfrac{7}{6} + 2k < \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{5}{3} < 2k < \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{5}{6} < k < \dfrac{1}{6}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\).

\( \Rightarrow \)Phương trình \(2\sin x + 1 = 0\) có các nghiệm thỏa mãn là: \(\left\{ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{{7\pi }}{6}} \right\}\)

Vậy 2 phương trình đã cho có 2 nghiệm chung trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.