Giải phương trình \(\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) - 1 = \sin x\cos x\).

Câu hỏi số 604582:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:604582

Giải chi tiết

Xét \(\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) - 1 = \sin x\cos x\) (*)

Đặt \(\sin x + \cos x = t\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {t^2}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = {t^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = {t^2}\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Rightarrow \sqrt 2 t - 1 = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\\ \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {Loai} \right)\\t = - 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sin x + \cos x = - 1 + \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1 + \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \arcsin \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \arcsin \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + \arcsin \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2} + k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{4} - \arcsin \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{4} + \arcsin \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2} + k2\pi ;\,\,\dfrac{{3\pi }}{4} - \arcsin \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.