Giải phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2\left( {\sin x + \cos x} \right) - 1\).

Câu hỏi số 604588:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:604588

Giải chi tiết

+ Xét \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2\left( {\sin x + \cos x} \right) - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( { - 1 - \sin x\cos x} \right) + 1 = 0\end{array}\)

+ Đặt \(\sin x + \cos x = t\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\) \( \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Thế vào phương trình:

\(\begin{array}{l}t\left( { - 1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow - t - \dfrac{{{t^3} - t}}{2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - {t^3}}}{2} - \dfrac{1}{2}t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {k2\pi ,\,\,\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.