Có tất cả bao nhiêu bộ ba số thực \(\left( {x,y,z} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện

Câu hỏi số 605053:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu bộ ba số thực \(\left( {x,y,z} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây

\({2^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.4^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.16^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = 128\) và \({\left( {x{y^2} + {z^4}} \right)^2} = 4 + {\left( {x{y^2} - {z^4}} \right)^2}\).

A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605053

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết

Ta có: \({2^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.4^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.16^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = 128 \Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 4\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {2^7} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 4\sqrt[3]{{{z^2}}} = 7\).

Ta có: \({\left( {x{y^2} + {z^4}} \right)^2} = 4 + {\left( {x{y^2} - {z^4}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x{y^2} + {z^4}} \right)^2} - {\left( {x{y^2} - {z^4}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 2x{y^2}.2{z^4} = 4 \Leftrightarrow x{y^2}{z^4} = 1\) (*).

\( \Rightarrow \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}{z^8}}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}}.{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)^2}.{\left( {\sqrt[3]{{{z^2}}}} \right)^4} = 1\).

Đặt \(X = \sqrt[3]{{{x^2}}},Y = \sqrt[3]{{{y^2}}},Z = \sqrt[3]{{{z^2}}}\,\,\left( {X,Y,Z \ge 0} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}X + 2Y + 4Z = 7\\X{Y^2}{Z^4} = 1\end{array} \right.\).

Theo BĐT Cauchy: \(X + 2Y + 4Z = X + Y + Y + Z + Z + Z + Z \ge 7\sqrt[7]{{X{Y^2}{Z^4}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(X = Y = Z = 1 \Leftrightarrow \)\(\sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = \pm 1\\z = \pm 1\end{array} \right.\).

Mà theo (*) : \(x > 0 \Rightarrow x = 1\).

Vậy, số bộ ba số thực \(\left( {x,y,z} \right)\) thỏa mãn là 1.2.2 = 4.

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.