Tìm số các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 20;20} \right)\) để hàm số

Câu hỏi số 605062:

Vận dụng cao

\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{7}{x^7} + \dfrac{6}{5}{x^5} - \dfrac{{{m^3}}}{4}{x^4} + \left( {5 - {m^2}} \right){x^3} - 3m{x^2} + 10x + 2020\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\).

A. 21.

B. 20.

C. 22.

D. 19.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605062

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình.

Giải chi tiết

Để hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{7}{x^7} + \dfrac{6}{5}{x^5} - \dfrac{{{m^3}}}{4}{x^4} + \left( {5 - {m^2}} \right){x^3} - 3m{x^2} + 10x + 2020\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì

\(f'\left( x \right) = {x^6} + 6{x^4} - {m^3}{x^3} + 3\left( {5 - {m^2}} \right){x^2} - 6mx + 10 \ge 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) (bằng 0 tại hữu hạn điểm)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^6} + 6{x^4} + 15{x^2} + 10 \ge {m^3}{x^3} + 3{m^2}{x^2} + 6mx,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1} \right) + 3\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) + 6\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {m^3}{x^3} + 3{m^2}{x^2} + 6mx,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} + 3{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 6\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {m^3}{x^3} + 3{m^2}{x^2} + 6mx,\forall x \in \left( {0;1} \right)\,\,\,(*)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} + 6t,\,\,f'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t + 6 > 0,\forall t\,\, \Rightarrow y = f\left( t \right)\) đồng biến trên R.

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right) \ge mx,\forall x \in \left( {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{x^2} + 1}}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right)\) (2*)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{x}\) trên \(\left( {0;1} \right)\), có: \(g'\left( x \right) = \dfrac{{2x.x - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\).

\( \Rightarrow g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\).

Do đó: (2*) \( \Leftrightarrow m \le g\left( 1 \right) = \dfrac{{{1^2} + 1}}{1} = 2\).

Mà \(m \in \left( { - 20;20} \right),m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 19; - 18;...;1;2} \right\}\): 22 giá trị.

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.