Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = 2;AC = \sqrt 3 \). Góc

Câu hỏi số 605063:

Vận dụng cao

Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = 2;AC = \sqrt 3 \). Góc \(\widehat {CAA'} = {90^0},\widehat {BAA'} = {120^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BB'\). Biết \(CM\) vuông góc với \(A'B\), tính thể khối lăng trụ đã cho.

A. \(V = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{8}\).

B. \(V = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{4}\).

C. \(V = \dfrac{{3\left( {1 + \sqrt {33} } \right)}}{8}\).

D. \(V = \dfrac{{3\left( {1 + \sqrt {33} } \right)}}{4}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605063

Giải chi tiết

Mà \(MC \bot A'B \Rightarrow A'B \bot \left( {ACM} \right) \Rightarrow A'B \bot AM\).

Xét hình bình hành \(ABB'A'\) như hình sau:

Giả sử \(AA' = x\). Ta có: \(A'B = \sqrt {A{B^2} + A{{A'}^2} - 2.AB.AA'.\cos {{120}^0}} = \sqrt {{2^2} + {x^2} - 2.2.x.\dfrac{{ - 1}}{2}} = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} \).

Ta có: \(\dfrac{{BH}}{{HA'}} = \dfrac{{BM}}{{AA'}} = \dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow BH = \dfrac{1}{3}\sqrt {{x^2} + 2x + 4} ,\,A'H = \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^2} + 2x + 4} \).

Ta có: \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = A{A'^2} - A'{H^2}\).

\(\Rightarrow {2^2} - \dfrac{1}{9}\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = {x^2} - \dfrac{4}{9}\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)

\(\Leftrightarrow 4 - {x^2} + \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 12 - 3{x^2} + {x^2} + 2x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 2x + 16 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{2}\,\, \Rightarrow x = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}\).

Ta có: \({V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{A'ABC}} = 3.\dfrac{1}{3}.AC.{S_{ABA'}} \)

\(= 3.\dfrac{1}{3}.AC.\dfrac{1}{2}AB.AA'.\sin \widehat {BAA'} = \sqrt 3 .\dfrac{1}{2}.2.\dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}.\sin {120^0} = \dfrac{{3\left( {1 + \sqrt {33} } \right)}}{8}\).

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.