Cho đồ thị \(\left( C \right):y = f\left( x \right) = \sqrt x \). Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng

Câu hỏi số 605144:

Vận dụng

Cho đồ thị \(\left( C \right):y = f\left( x \right) = \sqrt x \). Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), đường thẳng \(x = 9\) và trục \(Ox\). Cho điểm \(M\) thuộc \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {9;0} \right)\). Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay khi cho \(\left( H \right)\) quay quanh trục \(Ox\), \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác \(AOM\) quay quanh trục \(Ox\). Biết rằng \({V_1} = 2{V_2}\). Tính diện tích \(S\) phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(OM\).

A. \(S = \dfrac{4}{3}\).

B. \(S = \dfrac{{27\sqrt 3 }}{{16}}\).

C. \(S = 3\).

D. \(S = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605144

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay, tính diện tích hình phẳng.

Sử dụng công thức thể tích của khối nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

Thể tích \({V_1} = \pi \int\limits_0^9 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} dx = \pi .\left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^9 = \dfrac{{81\pi }}{2}\).

Nhận xét: \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác \(AOM\) quay quanh trục \(Ox\) là thể tích của hai khối nón có chung đáy.

Thể tích \({V_2} = \dfrac{1}{3}\pi .M{H^2}.OH + \dfrac{1}{3}\pi .M{H^2}.HA\).

\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{3}\pi .M{H^2}.OA\\ = \dfrac{1}{3}\pi .M{H^2}.9\\ = 3\pi .M{H^2}\end{array}\)

Ta có: \({V_1} = 2{V_2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{81\pi }}{2} = 2.3\pi .M{H^2}\\ \Leftrightarrow M{H^2} = \dfrac{{27}}{4}\\ \Leftrightarrow MH = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

\(M \in \left( C \right) \Rightarrow \) Giả sử \(M\left( {m;\sqrt m } \right)\).

\( \Rightarrow \sqrt m = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow m = \dfrac{{27}}{4}\)

\( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{27}}{4};\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \)Đường thẳng OM có phương trình: \(y = \dfrac{2}{{3\sqrt 3 }}x\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^{\dfrac{{27}}{4}} {\left( {\sqrt x - \dfrac{2}{{3\sqrt 3 }}x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\dfrac{{2x\sqrt x }}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{{3\sqrt 3 }}} \right)} \right|_0^{\dfrac{{27}}{4}}\\ = \dfrac{{27\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{{81\sqrt 3 }}{{16}} = \dfrac{{27\sqrt 3 }}{{16}}\end{array}\).

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.