Trong mặt phẳng phức, cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Tìm tập hợp

Câu hỏi số 605364:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng phức, cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho \(\dfrac{{z + i}}{{z - 2i}}\) là một số thực âm

A. Các điểm trên trục tung với \( - 1 \le y \le 2\).

B. Các điểm trên trục tung với \(y > 2\).

C. Các điểm trên trục tung với \( - 1 < y < 2\).

D. Các điểm trên trục hoành với \(x < 0\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605364

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\).

*) \(\dfrac{{z + i}}{{z - 2i}} = \dfrac{{x + yi + i}}{{x + yi - 2i}} = \dfrac{{x + yi + i}}{{x + \left( {y - 2} \right)i}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\left( {x + yi + i} \right)\left[ {x - \left( {y - 2} \right)i} \right]}}{{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {x + yi + i} \right)\left( {x - yi + 2i} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} - xyi + 2xi + xyi + {y^2} - 2y + xi + y - 2}}{{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {{x^2} + {y^2} - y - 2} \right) + \left( {3xi} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - y - 2}}{{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{3x}}{{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}}i\end{array}\)

*) \(\dfrac{{z + i}}{{z - 2i}}\) là một số thực âm => không có ảo => ảo = 0 và thực < 0.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + {y^2} - y - 2}}{{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}} < 0\\\dfrac{{3x}}{{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - y - 2 < 0\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < y < 2\\x = 0\end{array} \right.\).

Vậy các điểm biểu diễn số phức z là các điểm trên trục tung với \( - 1 < y < 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.