Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 605582:

Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) thỏa mãn điều kiện f(1) = -2ln2 và \(x\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\). Giá trị \(f\left( 2 \right) = a + b\ln 3\), với \(a,\,\,b \in \mathbb{Q}\). Tính a² + b².

A. \(\dfrac{5}{2}\).

B. \(\dfrac{{25}}{4}\).

C. \(\dfrac{{13}}{4}\).

D. \(\dfrac{9}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605582

Phương pháp giải

Chia cả 2 vế \(x\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\) cho \({\left( {x + 1} \right)^2}\).

Lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}f'\left( x \right) + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) = \dfrac{x}{{x + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}f'\left( x \right) + \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)'f\left( x \right) = \dfrac{x}{{x + 1}}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}f\left( x \right)} \right)' = \dfrac{x}{{x + 1}}\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}}f\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{x + 1}}dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}f\left( x \right) = \int {\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}f\left( x \right) = x - \ln \left| {x + 1} \right| + C\end{array}\).

Thay x = 1 ta có: \(\dfrac{1}{2}f\left( 1 \right) = 1 - \ln 2 + C \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( { - 2\ln 2} \right) = 1 - \ln 2 + C \Leftrightarrow C = - 1\).

\( \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 1}}f\left( x \right) = x - \ln \left| {x + 1} \right| - 1\).

Thay x = 2 ta có: \(\dfrac{2}{3}f\left( 2 \right) = 2 - \ln 3 - 1 = 1 - \ln 3 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}\ln 3\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = \dfrac{3}{2},\,\,b = - \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \dfrac{9}{2}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.