Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y

Câu hỏi số 605601:

Vận dụng

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y = 2 - x\) (như hình vẽ bên). Biết diện tích của hình (H) là \(S = a\pi + b\), với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(P = 2{a^2} + {b^2}\).

A. P = 9.

B. P = 6.

C. P = 16.

D. P = 10.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605601

Phương pháp giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), đường thẳng x = a, x = b là

\(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(S = \int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {4 - {x^2}} - 2 + x} \right)dx} \)

\( = \int\limits_0^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx} + \int\limits_0^2 {\left( {x - 2} \right)dx} = \int\limits_0^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx} - 2\)

Đặt \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} .2\cos tdt} \\ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {4{{\cos }^2}tdt} = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\ = 2\left. {\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 2\left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2}\sin \pi - 0 - \dfrac{1}{2}\sin 0} \right)\\ = \pi \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \pi - 2.\\ \Rightarrow a = 1,\,\,b = - 2\\ \Rightarrow P = 2{a^2} + {b^2} = 6.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.