Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu

Câu hỏi số 605611:

Vận dụng cao

Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức \(z - 2 - i\) bằng:

A. 25.

B. 9.

C. 5.

D. \(\sqrt 5 \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605611

Phương pháp giải

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện.

Tìm điều kiện để tồn tại số phức z và tìm GTLN của M.

Gọi z = x + yi, giải đồng thời 2 điều kiện tìm x, y => Số phức z, từ đó tính được mô đun của z – 2 - i.

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\)

+) \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\) => Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C): tâm I(3;4), bán kính \(R = \sqrt 5 \).

+) \(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\left| {x + yi + 2} \right|^2} - {\left| {x + yi - i} \right|^2}\\ = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} - {x^2} - {\left( {y - 1} \right)^2}\\ = 4x + 4 + 2y - 1\\ = 4x + 2y + 3\\ \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 - M = 0\end{array}\)

=> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: \(4x + 2y + 3 - M = 0\).

Do số phức z thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện nên d và (C) có điểm chung.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;d} \right) \le R\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {12 + 8 + 3 - M} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }} \le \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {23 - M} \right|}}{{2\sqrt 5 }} \le \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {23 - M} \right| \le 10\\ \Leftrightarrow - 10 \le 23 - M \le 10\\ \Leftrightarrow - 33 \le - M \le - 13\\ \Leftrightarrow 13 \le M \le 33\end{array}\)

Mà M đạt GTLN \( \Rightarrow {M_{\max }} = 33\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\\4x + 2y + 3 - 33 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow z = 5 + 5i\).

Vậy \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {5 + 5i - 2 - i} \right| = \left| {3 + 4i} \right| = 5\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.