Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi đường thẳng d đi qua A(-1;0;-1), cắt \({\Delta

Câu hỏi số 606034:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi đường thẳng d đi qua A(-1;0;-1), cắt \({\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\), sao cho cosin góc giữa d và \({\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x - 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{2}\) là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là:

A. \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

B. \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

C. \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\).

D. Đáp án khác.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:606034

Phương pháp giải

+) Gọi \(M = {\Delta _1} \cap d\). Tham số hóa tọa độ \(M \in {\Delta _1}\) theo biến t.

+) \(\cos \left( {d,{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)

Giải chi tiết

+) Gọi \(M = {\Delta _1} \cap d\) \( \Rightarrow M\left( {2t + 1;t + 2; - t - 2} \right)\).

+) d có \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AM} = \left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} \right)\).

\({\Delta _2}\) có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2;2} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_2}} = - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2 = - 2t\\\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \sqrt {{{\left( {2t + 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2} + {{\left( { - t - 1} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} + 14t + 9} \\\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = \sqrt {1 + 4 + 4} = 3\\ \Rightarrow \cos \left( {d,{\Delta _2}} \right) = \dfrac{{\left| { - 2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = \dfrac{1}{3}\sqrt {\dfrac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}} \end{array}\)

Để \(d\left( {d,{\Delta _2}} \right)\min \Rightarrow y = \dfrac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}\,\,\min \)

Tìm min:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{8t\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right) - \left( {12t + 14} \right)4{t^2}}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{48{t^3} + 11{t^2} + 72t - \left( {48{t^3} + 56{t^2}} \right)}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{56{t^2} + 72t}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow y = 0\\t = - \dfrac{9}{7} \Rightarrow y = 7,2\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow {y_{\min }} \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M\left( {1;2; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow {AM} = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng d: \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.