Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 2 }}\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{x + y}} = x\left( {2 -

Câu hỏi số 609208:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 2 }}\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{x + y}} = x\left( {2 - x} \right) + y\left( {2 - y} \right) + 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{2x + 3y}}{{x + y + 1}}\).

A. 8.

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. 1.

D. 2.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:609208

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt 2 }}\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{x + y}} = x\left( {2 - x} \right) + y\left( {2 - y} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) - {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x + y} \right) = 2x + 2y - {x^2} - {y^2} + 1\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + {x^2} + {y^2} + 1 = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x + y} \right) + 2 + 2\left( {x + y} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + {x^2} + {y^2} + 1 = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 2y} \right) + \left( {2x + 2y} \right)\) (*).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 2 }}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t.\ln \sqrt 2 }} + 1 > 0,\,\,\,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = f\left( {2x + 2y} \right)\).

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 = 2x + 2y \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = \sin \alpha \\y - 1 = \cos \alpha \end{array} \right.\).

Ta có: \(P = \dfrac{{2x + 3y}}{{x + y + 1}} = \dfrac{{2\left( {\sin \alpha + 1} \right) + 3\left( {\cos \alpha + 1} \right)}}{{\left( {\sin \alpha + 1} \right) + \left( {\cos \alpha + 1} \right) + 1}} = \dfrac{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha + 5}}{{\sin \alpha + \cos \alpha + 3}}\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\sin \alpha + 3\cos \alpha + 5 = P\sin \alpha + P\cos \alpha + 3P\\ \Leftrightarrow \left( {2 - P} \right)\sin \alpha + \left( {3 - P} \right)\cos \alpha = 3P - 5\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

(**) có nghiệm \(\alpha \) khi và chỉ khi

\({\left( {2 - P} \right)^2} + {\left( {3 - P} \right)^2} \ge {\left( {3P - 5} \right)^2} \Leftrightarrow 7{P^2} - 20P + 12 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{6}{7} \le P \le 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là 2.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.