Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A thỏa mãn AB = a, \(AC =
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A thỏa mãn AB = a, \(AC = a\sqrt 3 \), đồng thời A’A, A’B, A’C cùng tạo với đáy một góc \({60^0}\). M, N, H lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, A’C’, BC. Tính thể tích khối tứ diện MNAH.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Tìm tỉ số thể tích của khối tứ diện MNAH và khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Tính thể tích khối tứ diện MNAH.
Tam giác ABC vuông tại A, H là trung điểm của BC \( \Rightarrow \) H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có : A’A, A’B, A’C cùng tạo với đáy một góc \({60^0}\) => Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
\( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\angle A'AH = \angle A'BH = \angle A'CH = {60^0}\).
Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác ABC vuông tại A: \(AH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = a\).
Tam giác AHA’ vuông tại H \( \Rightarrow A'H = AH.\tan A = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{3{a^3}}}{2}\).
Gọi P là giao điểm của AM và BB’, Q là giao điểm của CC’ và AN.
Theo định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{PM}}{{PA}} = \dfrac{{MB'}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AP}} = \dfrac{1}{2}\). Chứng minh tương tự ta có \(\dfrac{{AN}}{{AQ}} = \dfrac{1}{2}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{AMNH}}}}{{{V_{A.PQH}}}} = \dfrac{{AM}}{{AP}}.\dfrac{{AN}}{{AQ}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{AMNH}} = \dfrac{1}{4}{V_{APQH}}\).
Mà \({V_{APQH}} = {V_{A.BCC'B'}}\,\,\left( {do\,{S_{PQH}} = {S_{BCC'B'}}} \right)\)
\( \Rightarrow \)\({V_{AMNH}} = \dfrac{1}{4}{V_{A.BCC'B'}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{6}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{3{a^3}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{4}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
