Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau \({\left( {{x^3} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\), biết rằng

Câu hỏi số 609490:

Vận dụng

Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau \({\left( {{x^3} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\), biết rằng \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78\) với \(x > 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:609490

Phương pháp giải

Tìm n.

Khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78\) (ĐK: \(n \ge 2,\,\,n \in \mathbb{N}\)).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} = 78\\ \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 78\\ \Leftrightarrow 2n + {n^2} - n = 156\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 156 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 12\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 13\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó ta được khai triển: \({\left( {{x^3} - \dfrac{2}{x}} \right)^{12}}\).

Số hạng tổng quát: \(C_{12}^k{\left( {{x^3}} \right)^k}{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^{12 - k}} = C_{12}^k{\left( { - 2} \right)^{12 - k}}{x^{4k - 12}}\).

Cần tìm số hạng không chứa x nên \(4k - 12 = 0 \Leftrightarrow k = 3.\)

Vậy số hạng không chứa x là: \(C_{12}^9{\left( { - 2} \right)^9} = - 112640.\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.