Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác ABC có trực tâm \(H\left( { - 1;6} \right),\)

Câu hỏi số 610612:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác ABC có trực tâm \(H\left( { - 1;6} \right),\) các điểm \(M\left( {2;2} \right);{\rm{ }}N\left( {1;1} \right)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC,\, BC.\) Tìm toạ độ \(A, \,B,\, C\) biết hoành độ của \(A\) dương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:610612

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác và công thức trung điểm để làm bài toán.

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 1} \right) = - \left( {1;\,\,1} \right).\)

\(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,BC \Rightarrow MN//BC.\) (đường trung bình của \(\Delta \))

Đường thẳng \(CH\) qua \(H\) và vuông góc với \(MN \Rightarrow CH:x + y + 5 = 0.\)

Giả sử \(C\left( {a;5 - a} \right) \in CH \Rightarrow \overrightarrow {CN} = \left( {1 - a;a - 4} \right)\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow A\left( {4 - a;a - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {a - 5;7 - a} \right).\)

Vì \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(B\left( {2 - a;a - 3} \right)\)

Vì \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CN} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 5} \right)\left( {1 - a} \right) + \left( {7 - a} \right)\left( {a - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{a = \frac{{11}}{2}}\end{array}} \right.\)

+) \(a = \frac{{11}}{2} \Rightarrow A\left( { - \frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right)\) mà \({x_A} > 0\) nên loại.

+) \(a = 3 \Rightarrow A\left( {1;\,\,2} \right),\,B\left( { - 1;\,\,0} \right),\,\,\,C\left( {3;\,\,2} \right).\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.