Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\log _3^2\left( {3x} \right) - 2{\log _3}{x^2} =

Câu hỏi số 611594:

Vận dụng

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\log _3^2\left( {3x} \right) - 2{\log _3}{x^2} = \dfrac{{{x^2} - 6x + 9}}{4}\)

A. \(\dfrac{{5 + 2\sqrt 3 }}{2}\).

B. \(4\).

C. \(5 + 2\sqrt 3 \).

D. \(4 + 2\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:611594

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Dựa vào hàm đặc trưng tìm được khoảng giá trị của \(x\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Ta có: \(\log _3^2\left( {3x} \right) - 2{\log _3}{x^2} = \dfrac{{{x^2} - 6x + 9}}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)^2} - 4{\log _3}x = \dfrac{{{x^2} - 6x + 9}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x - 1} \right)^2} = \dfrac{{{x^2} - 6x + 9}}{4}\\ \Leftrightarrow 4{\left( {{{\log }_3}x - 1} \right)^2} = {x^2} - 6x + 9\\ \Leftrightarrow {\left( {2\left( {{{\log }_3}x - 1} \right)} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\log _3}x - 2 = x - 3\\2{\log _3}x - 2 = 3 - x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2{\log _3}x - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\\x + 2{\log _3}x - 5 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \({\log _3}x = t \Rightarrow x = {3^t}\)

Xét (1):

Khi đó \({3^t} - 2t - 1 = 0\)

Xét \(f\left( t \right) = {3^t} - 2t - 1\)

Vì nên \(f'\left( t \right) = 0\) có tối đa 1 nghiệm

Suy ra \(f\left( t \right) = 0\) có tối đa 2 nghiệm phân biệt

Mà ta thấy \(t = 0,\,\,t = 1\) thỏa mãn \(f\left( t \right) = 0\)

Do đó \(x = 1,\,\,x = 3\) là nghiệm của (1)

Xét (2):

Khi đó \({3^t} + 2t - 5 = 0\)

Xét \(g\left( t \right) = {3^t} + 2t - 5\)

\(g'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 2 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

Do đó hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Như vậy \(g\left( t \right) = 0\) có tối đa 1 nghiệm

Mà ta thấy \(t = 1\) thỏa mãn \(g\left( t \right) = 0\)

Do đó \(x = 3\) là nghiệm của (2)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x = 1,\,\,x = 3\)

Do đó tổng các nghiệm là 4.

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.