Một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} - 10{x^2} - 2x + 1}}\) có

Câu hỏi số 611597:

Vận dụng

Một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} - 10{x^2} - 2x + 1}}\) có dạng \(F\left( x \right) = \dfrac{a}{b}\ln \left| {\dfrac{{{x^2} - cx - 1}}{{{x^2} + dx - 1}}} \right|\), trong đó \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số nguyên dương và phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a + b + c + d\).

A. 24.

B. 21.

C. 15.

D. 13.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:611597

Phương pháp giải

- Tách mẫu thức thành tích của hai thừa số

- Đặt ẩn phụ \(t = x - \dfrac{1}{x}\)

- Tính \(a + b + c + d\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} - 10{x^2} - 2x + 1}}dx} \\ = \int {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} + 4x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)}}dx} \\ = \int {\dfrac{{1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{\left( {1 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}}dx} \\ = \int {\dfrac{{d\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)}}{{\left( {x - \dfrac{1}{x} + 4} \right)\left( {x - \dfrac{1}{x} - 2} \right)}}} \end{array}\)

Đặt \(t = x - \dfrac{1}{x}\).

Ta có: \(\int {\dfrac{{dt}}{{\left( {t + 4} \right)\left( {t - 2} \right)}} = \dfrac{1}{6}.\int {\dfrac{{t + 4 - \left( {t - 2} \right)}}{{\left( {t + 4} \right)\left( {t - 2} \right)}}dt} } \)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{6}.\int {\left( {\dfrac{{dt}}{{t - 2}} - \dfrac{{dt}}{{t + 4}}} \right)} \\ = \dfrac{1}{6}\left( {\ln \left( {t - 2} \right) - \ln \left( {t + 4} \right)} \right)\\ = \dfrac{1}{6}\ln \left| {\dfrac{{t - 2}}{{t + 4}}} \right| = \dfrac{1}{6}\ln \left| {\dfrac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{x^2} + 4x - 1}}} \right|\end{array}\)

Khi đó \(a + b + c + d = 1 + 6 + 2 + 4 = 13\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.