Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có ba đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H.a)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), có ba đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Hai đường thẳng BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N (M khác B, N khác C). Chứng minh MN // EF.
c) Giả sử hai điểm B, C cố định, điểm A đi dộng trên cung lớn BC của đường tròn (O) (A khác B, C). Tìm vị trí của điểm A sao cho chu vi tam giác KEF đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
a) Tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)
b) Chứng minh \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp và \(\angle BMN = \angle FEB\)
c) Chứng minh \(EF \bot OA\),\(OB \bot FK\) và \(OC \bot EK\)
Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = {S_{AEOF}} + {S_{FOKB}} + {S_{KOEC}} = \dfrac{1}{2}OA.EF + \dfrac{1}{2}OB.FK + \dfrac{1}{2}OC.EK\)
\( = \dfrac{1}{2}R.EF + \dfrac{1}{2}R.FK + \dfrac{1}{2}R.EK = \dfrac{1}{2}R\left( {EF + EK + KF} \right) = \dfrac{1}{2}R.{P_{\Delta KEF}}\) (với \({P_{\Delta KEF}}\) là chu vi của \(\Delta KEF\))
Suy ra \({P_{\Delta KEF}}\) lớn nhất khi \({S_{\Delta ABC}}\) lớn nhất
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HE \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AEH = {90^0}\\HF \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AFH = {90^0}\end{array} \right.\)
Xét tứ giác AEHF có: \(\angle AEH + \angle AFH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow AEHF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Xét (O) có: \(\angle BMN = \angle BCN\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN) (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CF \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BFC = {90^0}\\BE \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BEC = {90^0}\end{array} \right.\)
Tứ giác BCEF có: \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\) mà hai góc này ở 2 đỉnh kề cùng nhìn cạnh BC.
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle FEB = \angle FCB\) (2 góc nội tiếp cùng chán cung BF)
\( \Rightarrow \angle FEB = \angle BCN\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle BMN = \angle FEB\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị
\( \Rightarrow EF\parallel MN\) (đpcm)
c)
Kẻ tiếp tuyến Ax của (O) khi đó \(OA \bot Ax\) và (3)
Vì BFEC nội tiếp
\( \Rightarrow \angle ACB = \angle AFE\) (cùng bù với \(\angle EFC\)) (4)
Từ (3), (4) suy ra \(\angle xAB = \angle AFE\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(Ax\parallel EF\)
Mà \(OA \bot Ax\) nên suy ra \(EF \bot OA\)
Chứng minh tương tự ta được \(OB \bot FK\) và \(OC \bot EK\)
Ta có \({S_{\Delta ABC}} = {S_{AEOF}} + {S_{FOKB}} + {S_{KOEC}} = \dfrac{1}{2}OA.EF + \dfrac{1}{2}OB.FK + \dfrac{1}{2}OC.EK\)
\( = \dfrac{1}{2}R.EF + \dfrac{1}{2}R.FK + \dfrac{1}{2}R.EK = \dfrac{1}{2}R\left( {EF + EK + KF} \right) = \dfrac{1}{2}R.{P_{\Delta KEF}}\) (với \({P_{\Delta KEF}}\) là chu vi của \(\Delta KEF\))
Suy ra \({P_{\Delta KEF}}\) lớn nhất khi \({S_{\Delta ABC}}\) lớn nhất
Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AK.BC\) mà BC cố định nên \({S_{\Delta ABC}}\) lớn nhất khi AK lớn nhất
Mà AK lớn nhất khi A nằm chính giữa cung BC
Vậy \({P_{\Delta KEF}}\) lớn nhất khi A nằm chính giữa cung BC.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
