Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - {m^2} - 3 = 0\) (*), với \(m\) là tham sốa) Giải

Câu hỏi số 612299:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - {m^2} - 3 = 0\) (*), với \(m\) là tham số

a) Giải phương trình (*) khi \(m = 0\).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = {\left( {{x_1}{x_2} + 7} \right)^2}\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612299

Phương pháp giải

a) Thay \(m = 0\) vào phương trình tìm x

b) Tính \(\Delta '\). Chứng minh \(\Delta ' > 0\) và áp dụng Vi-et

Giải chi tiết

a) Thay \(m = 0\) vào phương trình (*) ta có: \({x^2} - 2x - 3 = 0\).

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = - \dfrac{{ - 3}}{1} = 3\end{array} \right.\).

Vậy khi \(m = 0\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).

b) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( { - {m^2} - 3} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 2m + 1 + {m^2} + 3\\\,\,\,\,\,\, = 2{m^2} + 2m + 4\\\,\,\,\,\,\, = 2\left( {{m^2} + m + 2} \right)\end{array}\)

Ta có: \({m^2} + m + 2 = {m^2} + 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4} = {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \Delta ' > 0\,\forall m \Rightarrow \) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) \Leftrightarrow {x_2} = 2m + 2 - {x_1}\\{x_1}{x_2} = - {m^2} - 3\end{array} \right.\)

Theo giả thiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = {\left( {{x_1}{x_2} + 7} \right)^2}\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 4} \right)^2}\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = {\left( { - {m^2} + 4} \right)^2}\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2}\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2}{\left( {m + 2} \right)^2}\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2}\left[ {4\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) - {{\left( {m + 2} \right)}^2}\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\4\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = {\left( {m + 2} \right)^2}\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \({x_1}{x_2} = - {m^2} - 3 < 0\,\,\forall m\).

TH1: \({x_1} > 0,\,\,{x_2} < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} - 2{x_1} < 0 \Rightarrow 4\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) < 0\\{x_1} - 2{x_2} > 0 \Rightarrow {\left( {m + 2} \right)^2}\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right) \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) vô nghiệm.

TH2: \({x_1} < 0,\,\,{x_2} > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} - 2{x_1} > 0 \Rightarrow 4\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) > 0\\{x_1} - 2{x_2} < 0 \Rightarrow {\left( {m + 2} \right)^2}\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) vô nghiệm.

Vậy \(m = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link