1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 4cm. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và vẽ cung
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 4cm. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và vẽ cung tròn (A;AH) cắt AB, AC lần lượt tại D, E (hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ bên.
2) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q sao cho P nằm giữa A và Q, dây cung PQ không đi qua tâm O. Gọi I là trung điểm của đoạn PQ, J là giao điểm của hai đường thẳng AQ và MN. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn và \(\angle JIM = \angle JIN\).
b) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQM và AP.AQ = AI.AJ.
Quảng cáo
1) Diện tích tam giác ABC là: \({S_1} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.4.4 = 8\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Áp dụng định lí Pytaho trong tam giác vuông ABC ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow B{C^2} = {4^2} + {4^2}\\ \Rightarrow B{C^2} = 32\\ \Rightarrow BC = 4\sqrt 2 \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)
Mà AH là đường cao của tam giác cân ABC đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
\( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.4\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \,\,\left( {cm} \right)\).
Diện tích hình quạt ADE bằng ¼ diện tích hình tròn tâm A, bán kính AH nên có diện tích là
\({S_2} = \dfrac{1}{4}\pi .A{H^2} = \dfrac{1}{4}\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 2\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích phần tô đậm là \(S = {S_1} - {S_2} = 8 - 2\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
2)
a) Năm điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn và \(\angle JIM = \angle JIN\).
* Năm điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn
Xét đường tròn (O) có I là trung điểm của dây cung PQ (dây cung PQ không đi qua tâm O)
\( \Rightarrow OI \bot PQ\) (quan hệ đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow \angle PIO = {90^0} \Rightarrow \angle AIO = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AIO\) vuông tại I
\( \Rightarrow I\) thuộc đường tròn đường kính AO
AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle AMO = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
\( \Rightarrow \Delta AMO\) vuông tại M
\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính AO
\(AN\) là tiếp tuyến của đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle ANO = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
\( \Rightarrow N\) thuộc đường tròn đường kính AO
Ta có: \(I,M,N\)cùng thuộc đường tròn đường kính AO
\( \Rightarrow \) Năm điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).
*\(\angle JIM = \angle JIN\)
AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O)\( \Rightarrow OA\) là phân giác của \(\angle MON\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle AOM = \angle AON\)
Ta có:
\(\angle AOM = \angle AIM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
\(\angle AON = \angle AIN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Mà \(\angle AOM = \angle AON\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AIM = \angle AIN\)
\( \Rightarrow JIM = \angle JIN\) (đpcm)
b) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQM và AP.AQ = AI.AJ.
Xét (O) có: \(\angle MQP = \angle AMP\) (góc nộ tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung PM)
\( \Rightarrow MQA = \angle AMP\)
Xét \(\Delta AMP\) và \(\Delta AQM\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle MAQ\,\,\,chung\\\angle AMP = \angle MQA\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AMP \sim \Delta AQM\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AP}}{{AM}} = \dfrac{{AM}}{{AQ}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow AP.AQ = A{M^2}\) (1)
Ta có: \(\angle AMN = \angle AIN\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
\( \Rightarrow \angle AMJ = \angle JIN\)
Mà \(\angle JIM = \angle JIN\,\left( {cmt} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AMJ = \angle JIM\,\,\left( {do\,\,\angle JIM = \angle JIN\,\,cmt} \right)\\ \Rightarrow \angle AMJ = \angle AIM\end{array}\)
Xét \(\Delta AMJ\) và \(\Delta AIM\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle MAI\,\,\,chung\\\angle AMJ = \angle AIM\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AMJ \sim \Delta AIM\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{AJ}}{{AM}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow AI.AJ = A{M^2}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AP.AQ = AI.AJ\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
