Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left(

Câu hỏi số 614572:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng \({60^0}\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) bằng \(a\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).

A. \(V = \dfrac{{2{a^3}}}{9}\).

B. \(V = \dfrac{{4{a^3}}}{9}\).

C. \(V = {a^3}\sqrt 3 \).

D. \(V = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614572

Phương pháp giải

* \(\left\{ \begin{array}{l}a//\left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow {d_{\left( {a;b} \right)}} = {d_{\left( {a;\left( P \right)} \right)}} = {d_{\left( {A;\left( P \right)} \right)}},\,\,\left( {A \in a} \right)\).

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\)

Giải chi tiết

\(AB//CD \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = d\) là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AB,CD\).

Lấy \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).

Do \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SE \bot AB,SF \bot CD\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SE \bot d\\SF \bot d\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {SE;SF} \right) = {60^0}\).

Ta có: \(CD//AB \Rightarrow CD//\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {SA;CD} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right)\).

Dựng \(OH \bot SE \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH \Rightarrow d\left( {SA;CD} \right) = 2.OH = a \Rightarrow OH = \dfrac{a}{2}\).

TH1: \(\widehat {ESF} = {60^0}\)\( \Rightarrow \Delta SEF\) đều.

Giả sử cạnh của tam giác đều \(SEF\) bằng \(x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OE = \dfrac{x}{2}\\SO = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\,\,\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{E{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{S^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}{x^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}{x^2}}} = \dfrac{{16}}{{3{x^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

TH2: \(\widehat {ESF} = {120^0} \Rightarrow \Delta OEH\) vuông tại \(H,\,\widehat E = {30^0}\).

Giả sử \(EF = x \Rightarrow OE = \dfrac{x}{2}\).

\( \Rightarrow OH = OE.\cos \widehat E = \dfrac{x}{2}.\cos {30^0} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.